Dans la théorie des ensembles, un nombre ordinal, est une généralisation du concept de nombre naturel utilisé pour décrire un moyen d'organiser une collection d'objets dans l'ordre, les uns après
les autres. Toute collection finie d'objets peut être mise en ordre simplement par le processus de comptage: étiquetage des objets avec des nombres naturels distincts. Les nombres ordinaux sont
donc les "étiquettes" nécessaires pour organiser les collections d'objets dans l'ordre.
Un nombre ordinal est utilisé pour décrire le type d'ordre d'un ensemble bien ordonné (bien que cela ne fonctionne pas pour une classe appropriée bien ordonnée ). Un ensemble bien ordonné est un
ensemble avec une relation > telle que
Trichotomie
Pour tous les éléments x et y , exactement l'une de ces déclarations est vraie
x > y
y = x
y > x
Transitivité
Pour tout élément x , y , z , si x > y et y > z , alors x > z.
Chaque sous-ensemble non vide a un élément minimal, c'est-à-dire un élément x tel qu'il n'y a pas d'autre élément y dans le sous-ensemble où x > y.
Deux ensembles bien ordonnés ont le même type d'ordre si et seulement s'il existe une bijection d'un ensemble à l'autre qui convertit la relation du premier ensemble en relation du deuxième
ensemble.
Alors que les ordinaux sont utiles pour ordonner les objets d'une collection, ils se distinguent des nombres cardinaux, qui sont utiles pour indiquer le nombre d'objets contenus dans une
collection. Bien que la distinction entre ordinaux et cardinaux ne soit pas toujours apparente dans les ensembles finis (on peut aller de l'un à l'autre simplement en comptant les étiquettes),
différents ordinaux infinis peuvent décrire le même cardinal. Comme d'autres types de nombres, les ordinaux peuvent être ajoutés, multipliés et exponentiés, bien que l'addition et la
multiplication ne soient pas commutatives.
Georg Cantor introduisit les ordinaux en 1883 pour prendre en charge des séquences infinies et pour classer les ensembles dérivés, qu'il avait précédemment introduits en 1872 alors qu'il étudiait
le caractère unique des séries trigonométriques.