Nombre algébrique

Un nombre algébrique est un nombre complexe (y compris des nombres réels ) qui est la racine d'un polynôme différent de zéro (c'est-à-dire une valeur qui fait que le polynôme est égal à 0) dans une variable à coefficients rationnels (ou de manière équivalente - en effaçant les dénominateurs - avec des coefficients entiers ). Tous les nombres entiers et rationnels sont algébriques, de même que toutes les racines de nombres entiers . La même chose n'est pas vraie pour tous les nombres réels ou tous les nombres complexes. Les nombres réels et complexes qui ne sont pas algébriques sont appelés nombres transcendantaux . Ils incluent p et e. Tandis que l'ensemble des nombres complexes est indénombrable , l'ensemble des nombres algébriques est comptable et a la mesure zéro dans la mesure de Lebesgue en tant que sous-ensemble des nombres complexes et, en ce sens, presque tous les nombres complexes sont transcendants.

L'ensemble des nombres algébriques est dénombrable (énumérable).
Par conséquent, l’ensemble des nombres algébriques a une valeur de zéro selon Lebesgue (en tant que sous-ensemble des nombres complexes), c’est-à-dire que " presque tous " les nombres complexes ne sont pas algébriques.
Étant donné un nombre algébrique, il existe un polynôme monique unique (avec des coefficients rationnels) de degré moindre qui a le nombre comme racine. Ce polynôme est appelé son polynôme minimal . Si son polynôme minimal a le degré n , alors le nombre algébrique est dit de degré n . Un nombre algébrique de degré 1 est un nombre rationnel . Un nombre algébrique de degré 2 est un irrationnel quadratique .
Tous les nombres algébriques sont calculables et donc définissables et arithmétiques .
L'ensemble des nombres algébriques réels est ordonné linéairement , dénombrable, ordonné de manière dense , et sans premier ou dernier élément, de sorte qu'il est isomorphe à l'ensemble des nombres rationnels.
Pour les nombres réels a et b , le nombre complexe a + bi est algébrique si et seulement si a et b sont tous deux algébriques.

La somme, la différence, le produit et le quotient (si le dénominateur est non nul) de deux nombres algébriques est encore algébrique (ce fait peut être démontré à l'aide du résultat ), et les nombres algébriques forment donc un corps Q (parfois noté A , bien que désigne généralement l' anneau adèle ). Chaque racine d'une équation polynomiale dont les coefficients sont des nombres algébriques est à nouveau algébrique. Cela peut être reformulé en disant que le champ des nombres algébriques est algébriquement fermé . En fait, il s’agit du plus petit champ algébriquement fermé contenant les rationnels et s’appelle donc la fermeture algébrique des rationnels. L'ensemble des vrais nombres algébriques forme lui-même un champ.

Tous les nombres pouvant être obtenus à partir des nombres entiers à l’aide d’un nombre fini d’ additions , de soustractions, de multiplications , de divisions et de n racines, où n est un entier positif ( expressions radicales ) sont algébriques. L'inverse, cependant, n'est pas vrai: il existe des nombres algébriques qui ne peuvent pas être obtenus de cette manière. Tous ces nombres sont des racines de polynômes de degré 5 ou plus. Ceci est un résultat de la théorie de Galois (voir Equations de Quintic et le théorème d'Abel – Ruffini ). Un exemple d'un tel nombre est l'unique racine réelle du polynômex 5 - x - 1 (qui estenviron 1.167 304 ).

Les nombres algébriques sont tous des nombres pouvant être définis explicitement ou implicitement en termes de polynômes, à partir des nombres rationnels. On peut généraliser ceci aux " nombres sous forme fermée ", qui peuvent être définis de différentes manières. Plus généralement, tous les nombres qui peuvent être définis explicitement ou implicitement en termes de polynômes, d'exponentielles et de logarithmes s'appellent des «nombres élémentaires» et comprennent les nombres algébriques, ainsi que certains nombres transcendants. Plus précisément, on peut considérer des nombres explicitement définis en termes de polynômes, exponentielles et logarithmes - cela n'inclut pas tous les nombres algébriques, mais inclut quelques simples nombres transcendants tels que e ou ln 2.